有界线性泛函是什么-高等代数中出现的对偶空间的对偶性到底是什么？ 拓扑意义上的二元性是什么？

谢谢你的邀请

许多书中的二元性实际上是具有特殊意义的。 他们一般指的是那种“有界线性泛函”，这当然是对的，但从更一般的理解来看，对偶性本身比拓扑更强。

怎么理解这个问题呢？ 首先，我们考虑一对向量空间 X, Y，然后我们假设 langle cdot,cdotrangle: Xtimes Yto mathbb{R} 是双线性泛函且可分离，这​​意味着什么这句话是什么意思？意思是，它保证了以下四个条件

对于每个 x，映射 ymapsto langle x,yrangle 是线性的。 对于每个 y，映射 xmapsto langle x,yrangle 是线性的。 如果 langle x,y rangle=0 对于 Y 中的每个 yin 成立有界线性泛函是什么，则 x=0 如果 langle x,y rangle=0 对于 Xin X 成立，则 y=0

这种双线性泛函可以称为“对偶”，我们称 langle X, Yrangle 为对偶系统。 这里有些例子：

在高等代数中，langle mathbb{R}^n, mathbb{R}^nrangle 中的对偶是 langle x,yrangle=sum_{i=1}^n x_i y_i 在某些一般情况下函数分析中有界线性泛函是什么卡通形象，我们设Y为X的所有有界泛函组成的Banach空间，此时langle x,yrangle=y(x)，即y作用于x。 对于有界开集及其上方的 L^p,L^q 空间，我们可以定义 langle L^p(Omega),L^p(Omega)rangle , langle f,grangle= int_欧米茄 f(x)g(x) dx

这些还是普通的，

4. 让我们做一件不平凡的事。 让我们设置)dx。

首先表情包设计，我们注意到定义中的X和Y只是向量空间并且没有拓扑。 事实上，只要存在这种对偶性，就可以保证这两个空间一定存在拓扑。 为什么？因为我们在 X 中有一个半范数

p_y(x):=|langle x,yrangle| quad forall yin Y ，

这个半范数族{p_y}_{yin Y}可以得到一个拓扑tau_X，也就是说，局部子基为

V(epsilon)={xin X; |p_{y}(x)|