有界线性泛函是什么-【泛函分析讲义-张公庆】2.5共轭空间·弱收敛·自反空间（教材内容讲解）

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【泛函分析讲义-张公庆】0 内容&泛函分析的作用是什么？

对称性是自然界中一个重要的几何性质，比如我们在线性代数中学到的对称矩阵。 本节我们将通过共轭空间和共轭算子的概念来研究线性算子（共轭算子、自共轭算子）和内积空间（线性范数）的对称算子。 重要的属性，例如空间对称性）。

首先，我们看一下共轭空间的定义。 在2.4 Hahn-Banach定理中，我们说每个B^*空间上都有“足够”的连续线性泛函 形成一个新的线性赋范空间！ 我们将其定义为共轭空间！

【定义2.5.1】假设X是B^*空间，则AB^*空间上的所有连续线性泛函都成立，称为X的共轭空间。

我们在2.1中引入了线性算子的概念，用X^*=L(X,K)来表示X上的所有线性有界泛函，因此可以知道内容的共轭空间是完备的X^*。 共轭空间很重要，因为共轭空间X^*可以从另一个侧面反映线性赋范空间X的许多本质性质，使我们能够更好地研究空间X。

我们理解共轭空间的定义：X的共轭空间是由X上所有有界线性泛函组成的线性赋范空间X^*。接下来我们以一个具体且经典的空间（L^p空间）为例来深入探讨理解共轭空间的含义。 我们先回顾一下L^p[0,1]空间。

[L^p[0,1]空间] f是[0,1]上的可测函数，|f(x)|^p在[0,1]上可积。 这个函数 f 整个空间记为 L^p[0,1]，称为 [0,1] 上的 p 阶可积函数空间，范数 ||f||=(int_{[0 ,1]}|f 定义为 (x)|^pdmu)^{frac{1}{p}} 。

那么我们看看L^p[0,1]空间的共轭空间是什么，即L^p[0,1]空间上所有有界线性泛函组成的空间是什么？

【例2.5.2】L^p[0,1]的共轭空间为L^p[0,1]^*=L^q[0,1]，其中q为p的共轭数，即, 1" 当 >p>1 时，frac{1}{p}+frac{1}{q}=1，当 p=1 时，q=infty。换句话说，对于 F in L^ p[0,1] ^* ， L^q[0,1] 中存在唯一的 g 使得 F(f)=int_{0}^{1}f(x)g(x)d mu(f in L^ p[0,1]) 和 ||F||=||g||_{L^q[0,1]}=(int_{0}^{1}|g (x)|^qdmu)^{frac{1}{q}}。

也就是说，L^p[0,1]的共轭空间为L^q[0,1]，也就是说：L^p[0,1]和L^q上定义的有界线性函数的元素[0,1]上一一对应！

这个证明还是比较复杂的。 我们可以先看一下总体思路：

我们可以在 L^p[0,1] 上定义一个有界线性函数 F：对于 forall f in L^p[0,1] ， F(f)=int_{0}^{1}f (x )g(x)dmu ，即 F:L^p[0,1]rightarrow K 。 则可知F是L^p[0,1]上的有界线性函数，即F in L^p[0,1]^*。 我们的目标是找到相应的 g in L^q[ 0,1] 使得 F(f)=int_{0}^{1}f(x)g(x)dmu 和 ||F| |=||g||_{L^q[0, 1]}，即F和g同构。 在这种情况下，L^p[0,1]^* 和 L^q[0,1] 是等距的，这意味着 L^p[0,1 ] 的共轭空间是 L^q[0,1]。 那么，困难在于如何找到这个g？ ？ 对于任何 f，我们能否找到 g 使得 F(f)=int_{0}^{1}f(x)g(x)dmu 成立？ 我们的想法是从F开始，首先让它作用于最简单的函数（特征函数），证明它可以在最简单的函数上找到，然后用“可测函数可以用简单函数来逼近”，进一步解释g可以找到任何函数。

上面介绍了共轭空间，以L^p[0,1]空间为例介绍其共轭空间。 我们先来说两个定理：Riesz表示定理和龙格定理。 下面先给出定义，然后再讨论。

【定理2.5.4（Riesz表示定理）】如果M是Hausdorff紧空间，则forall f in C(M)^* ，存在唯一的复值Baire测度，即完全可加的集合函数mu，适用于 |mu|(M)=int_{M}varphi(m)d mu (forall varphi in C(M)) 。 嘿嘿，是不是和定理2.2.1很像？ 其实这句话的核心意思是一样的！ 只是我们这里不能再使用希尔伯特空间下的“内积”了。 我们得把它改成一个东西，就是 =int_{M}varphi(m)d mu">=int_{M}varphi(m )d mu 这个东西其实叫对偶积。是定义广义函数时的一个概念，我们还没讲过（172页的例3.1.11），你可以先看一下：你能用通俗易懂的语言解释清楚吗？广义的定义是什么功能？

那么这个Riesz表示定理意味着空间C(M)上的连续线性函数f可以通过Baire测度由对偶积给出。 也就是说，它连接了函数和度量。

其实我这里说的并不严谨，感觉不太好……但是我还没有想到更好的办法，也没有找到这部分的参考资料。 如果你看到什么好的可以推荐给QAQ。 到时候我会改变它

下面写一个证明：

那么我们开始说龙格定理，先给出定义：

[定理2.5.5 (Runge)] 假设K是复平面C上的紧子集，记为C_{infty}=Ccup{ infty }。 假设 E 是 C_{infty} verb||K 的子集，它与 C_{infty} verb||K 中的每个分量相交。 如果f是K邻域内的任意解析函数，则必定存在一个极点都在E中的有理序列f_n，使得f_n一致收敛于K上的f。

我们先介绍一下定理中提到的概念：

(1)紧集：在拓扑空间X中，如果X中覆盖M的开集族中存在覆盖集合M的有限开集，则称集合M是紧集。

(2)解析函数：若函数w=f(z)在z_0点及其邻域可微，则称w=f(z)在z_0点解析。 如果函数 w=f(z) 在 sigma 区域中处处可微，则称 f(z) 在 sigma 区域中是解析函数，或者称 f(z) 在 sigma 区域中是解析函数。西格玛。

（3）极点（奇点）：如果函数w=f(z)在z_0点不可解析，则z_0称为w=f(z)的极点。

龙格逼近定理实际上是复变量中魏尔斯特拉斯逼近定理的对应定理。

回想一下维尔斯特拉斯定理：有限闭区间上的连续函数可以一致地用多项式逼近。 那么我们就可以自然地思考：在复变量中，对于复平面C上的有界闭集K，什么时候每个包含K的开集上的解析函数都能被多项式一致逼近呢？ 龙格定理回答了这个问题：在包含紧集 K 的任何开集（域内）上解析的函数可以由极点在 K^c 内的有理函数一致近似。

龙格定理的证明需要使用 Hahn-Banach 定理、Riesz 表示定理和以下引理：

[引理2.5.6] 对于 forall mu in M(K) ，如果 hat{mu}(w)=int_{K} frac{d mu (z)}{wz} ，则对于0,hat{mu} in L^1(B_R)">forall R>0,hat{mu} in L^1(B_R) （其中 B_R 是原点处中心的半径) R 的圆)，并且 hat{mu} 在 C_{infty} verb||K 上解析，并且还满足 hat{mu}(infty)=0。

我不会写这个引理的证明。 你可以在书上读到。 也就是说，我们定义的hat{mu}在B_R上可积，在C_{infty} verb||K和{infty }上解析，并且满足hat{ mu}( infty)=0 。

龙格定理的证明我暂时不会写……我太懒了。 如果有人想看的话我再写一下哈哈~

我们之前考虑了线性赋范空间X的共轭空间X^*，它是完备的，即它是一个B空间。 因此，我们还可以考虑空间X^*的共轭空间，记为X^{**}卡通人物，称为X的第二共轭空间。则有如下定理：

[定理2.5.7] B^*空间X与其第二共轭空间X^{**}的子空间等距同构。

[定义2.5.8]如果从X到X^{**}的自然映射T是满射的，则称X是自反的，表示为X=X^{**}。

让我们从共轭运算符开始。 共轭算子的概念是转置矩阵概念在有限维空间中的推广。

我们回顾一下之前学过的转置矩阵：

即，A^*满足(Ax,y)=(Ax)^*y=(x^*A^*)y=x^*(A^*y)=(x,A^*y)。 对于任意函数 f:K^mrightarrow K, forall x in K^n, f(Ax)=(A^*f)(x)。

然后我们将这个概念推广到一般的B空间。 这就需要用到对偶关系（对偶乘积）。 我们定义_n=sum_{i=1}^{n}{x_iy_i}(forall x,y in R^n)">_n=sum_{i=1}^{n}{x_iy_i}( forall x,y in R^n) ，则有关系： _n=sum_{i=1}^{n}({sum_{j=1}^{m}{a_{ij}x_j} } )y_i=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}a_{ij}x_jy_i=sum_{j=1}^{m}({sum_{i= 1 }^{n}{a_{ij}y_i}})x_j=_m">_n=sum_{i=1}^{n}({sum_{j=1}^{m}{a_{ij } x_j}})y_i=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}a_{ij}x_jy_i=sum_{j=1}^{m}({sum_ { i=1}^{n}{a_{ij}y_i}})x_j=_m。

早些时候，里斯表示定理说对偶积可以确定有界线性泛函！ 因此，我们可以通过共轭空间（一个由线性泛函组成的空间）来定义共轭算子。

[定义2.5.9（共轭算子）] 设X,Y 为B^* 空间有界线性泛函是什么，算子T in L(X,Y)。 算子 T^*:Y^*rightarrow X^* 称为 T 的共轭算子，意思是 f(Tx)=(T^*f)(x)(forall f in Y^*, forall x 在 X) 中。

那就是 =>= 。

我们用这个定义来重述转置矩阵： 矩阵 A:K^mrightarrow K^n 可以看作是线性算子，算子 A^*:K^nrightarrow K^m 称为A. 矩阵指的是 f(Ax)=(A^*f)(x)(forall f in (K^m)^*,forall x in K^n) 。 注意K^n空间的共轭空间是它本身（自共轭）！

另一件需要注意的是，这个共轭运算符 T^* 是唯一的。 证书上有啊

[定理2.5.10] 映射*:Trightarrow T^* 是从L(X,Y) 到L(Y^*,X^*) 的等距同构。

[定理2.5.11] 假设X,Y 是B^* 空间，且运算符T in L(X,Y)。 那么算子 T^{**} in L(X^{**},Y^{**}) 就是 T 在 X^{**} 上的延拓，并且满足 ||T^{** }| |=||T|| 。

下面我们用一个例子来理解共轭算子的运算：卷积算子。

[例 2.5.13] 假设 K(x) 是 R^1 上的 L^1 函数，并检查 L^p(R^1)(1leq p leq infty) 上的卷积算子： (K ast f)(x)=int_{-infty}^{infty}K(xy)f(y)dy ，则 Kast 的共轭算子为 check{K} * ，其中 check {K }(x)=K(-x) 。

证明这一点需要使用杨氏不等式：

[引理2.5.14（杨氏不等式）] 假设 f in L^P(R^1)(1leq pleq infty) ， K in L^1(R^1) ，则 ||K ast f||_pleq||K||_1||f||_p ，其中 ||cdot||_p 表示 L^p(R^1) 的范数。

杨氏不等式的证明需要使用富比尼定理：

【富比尼定理】直接进入百度百科

我们首先证明一下杨氏不等式：

然后证明例2.5.13：

我们先来梳理一下为什么要整体引入弱收敛和弱压缩：

泛函分析主要研究无限维算子和泛函。 在有限维中，任何有界点序列都具有收敛子序列（魏尔斯特拉斯定理），但该性质在无限维空间中不成立。 在1.3中，紧集具有收敛子序列的性质被抽象为“紧”。 当时我们还引入了“完全有界”，然后将维尔斯特拉斯定理推广到无限维空间，相当于强化了我们的“有界”条件。 那么我们可以换个思路，我们可以弱化“收敛”的概念——引入弱收敛，再引入弱压缩（有弱收敛子级数），这样维尔斯特拉斯定理就可以推广到无限维空间。

下面介绍弱收敛和ast弱收敛。

1.

首先，我们考虑线性赋范空间X（即我们之前定义的赋范收敛）的弱收敛和强收敛。

[定义2.5.15]假设X是B^*空间，{x_n}subset forall f in

【对应强收敛性】假设X是B^*空间，{x_n}subset X ，x in rightarrow x ，指的是： ||x_n-x||rightarrow 0(nrightarrow infty) ，则x称为点序列{x_n}的强极限。

当X为有限维时，强收敛性和弱收敛性是等价的。

【命题2.5.16】弱极限如果存在，则必须是唯一的。 如果存在强极限，那么它一定是弱极限。

但弱极限并不一定导致强极限。 例如书中的例2.5.17。 但如果点序列{x_n}的弱极限存在，虽然不能推论{x_n}强收敛于x，但我们可以找到{x_n}的凸组合序列，使其强收敛到 x。 这是以下定理：

[定理 2.5.18 (Mazur)] 假设 =1}^{n}{lambda_i}=1">forall varepsilon >0,exists lambda_igeq 0(i=1,2,..,n ),sum_{i=1}^ {n}{lambda_i}=1 使得 ||x_0-sum_{i=1}^{n}{lambda_i}x_i||leqvarepsilon 。

您可以转到1.5凸集和不动点来查看凸包和凸组合。 该定理意味着点序列{x_n}弱收敛于x_0。 虽然我们不能推断出点序列{x_n}强收敛于x_0，但我们可以找到点序列{x_n}的凸组合sum_。 {i=1}^{n}{lambda_i}x_i，从而强烈收敛于x_0。

2.

然后，我们考虑共轭空间 X^*

[定义2.5.9]设X是B^*空间，{f_n}子集X^*，fin X^*。 则称 f_n ast 弱收敛于 f，记为 w^*-lim_{n rightarrow infty}{f_n}=f，这意味着：对于 forall x in X，有 lim_{n rightarrow infty}{f_n}=f，则 f 称为函数序列 {f_n} 的弱极限。

弱收敛定义为线性赋范空间 X 上的点序列，弱收敛定义为 X 的共轭空间上的线性连续泛函序列。

如前所述，自反空间为 X=X^{**}，那么 X^* 上的弱收敛就意味着 X^* 上的弱收敛，且当弱收敛时是等价的。

3.

然后我们利用前面的定理并讨论它的弱收敛性和弱收敛形式。

2.3概述和开像定理中引入了共振定理，它有一个推论：

【定理2.3.6（Banach-Steinhaus定理）】假设X是B空间，Y是B^*空间，M是X的稠密子集。如果 A_n(n=1,2,…) ， A in L(X,Y) ，则 forall x in X 必须是 lim_{n rightarrow infty}{A_nx}=Ax。 要求是：

(1) ||A_n|| 是有界的；

(2) lim_{n rightarrow infty}{A_nx}=Ax 对于 forall x in M 成立。

该定理适用于有界线性算子。 下面我们考虑两种特殊情况，一种是线性赋范空间X上的点序列，另一种是Banach空间X上的有界线性函数序列。

(i) 令 x_n 被视为 X^* 上的有界线性函数： =f(x_n)(forall f in X^*)">=f(x_n)(forall f in X^* )，弱收敛有以下特殊情况：

[定理2.5.20]假设X是B^*空间，并假设{x_n}subset X , xin

(ii) 以下直接是巴纳赫-斯坦豪斯定理弱收敛的一个特例：

[定理2.5.21]假设X是B空间，且假设{f_n}subset X^* , fin }=f，必须且仅：

4.

点序列和线性连续函数序列分别在1.和2.中介绍。 现在我们介绍线性连续算子序列的各种收敛性质：

[定义2.5.22]设X和Y为B^*空间，并设T_n(n=1,2,…), T in L(X,Y)。

显然，一致收敛右箭头强收敛右箭头弱收敛，并且每个极限如果存在则必须是唯一的。 但反之则不然。 书中给出了强收敛但不一致收敛、弱收敛但不强收敛的例子。

我们首先介绍弱列压缩和ast弱列压缩。

【弱紧致】集合A被称为弱紧致，这意味着A中的任意点序列都具有弱收敛的子级数。

[ast 弱紧致] 集合 A 被称为 ast 弱紧致，这意味着 A 中的任何点序列都有一个 ast 弱收敛子级数。

那么我们可以有如下定理：

[定理2.5.25]假设X是可分B^*空间，则X^*上的有界序列{f_n}必定有ast弱收敛子序列。

换句话说：假设 X 是可分的 B^* 空间，那么 X^* 上的集合 M^* 是弱紧的。

但这个定理要求 X 是可分离的，我们想去掉这个条件。 我们可以利用空间的自反性假设推导出ast弱压缩，即将可分性条件改为自反性（定义2.5.8）。 于是我们推导出以下两个定理：

[定理2.5.6（Banach）] 假设X是B^*空间。 如果 X 的共轭空间 X^* 可分，则 X 本身也是可分的。

[定理2.5.27（Pettis）] 自反空间X的闭子空间X_0必定是自反空间。

有了以上两个定理，我们就可以去掉空间可分性条件，改成自反空间，也就是下面两个定理：

[定理 2.5.28 (Eberlein)] 自反空间的单位（闭合）球体是弱（自）紧的。

[定理2.5.29 (Alaoglu)] 假设X是B^*空间，则X^*中的单位闭球是弱紧致的。

（我还不会写这些证明）

我们来看一个应用程序：

【应用】 L^p[0,2 pi](1

傅立叶级数函数的表征。

所需基础知识：

[L^p[0,2 pi] space] f 是 [0,2pi] 上的可测函数，并且 |f(x)|^p 在 [0,2pi] 上可积，整个函数f记为L^p[0,2pi]空间，称为[0,2pi]上的第p个可积函数空间，范数||f||=( int_{[0 ,2pi]}|f(x)|^pdmu)^{frac{1}{p}} .

【定义1.6.22】内积空间X中的正交范数集S={e_{alpha}|alpha in A}称为基（或闭），指forall x in X 具有以下表示形式： x=sum_{alpha in A}{(x,e_{alpha})}e_{alpha}，其中 {(x,e_{alpha})| alpha in A} 称为 x 相对于基 {e_{alpha}|alpha in A} 的傅立叶系数。

【Cesàro sum】Cesàro summable级数性质讨论

说一下大概的思路：

即当f in L^1[0,2pi]时，其傅立叶级数不一定收敛； 但当 f in L^2[0,2 pi] 时，其傅立叶级数收敛。 为了从整体的角度讨论f in L^p[0,2pi] 的收敛性，我们将讨论其傅立叶级数在塞萨罗意义上的收敛性。 最终结论是，对于 forall f in L^p[0,2pi]，其傅里叶级数的 cesaro 和的 L^p 模是一致有界的，即，sup_{ngeq 1}| |sigma_n||< infty，则根据定理2.5.25，可知L^p[0,2pi]=L^q[0,2pi]^*，且L^q[ 0,2 pi] 是可分的，那么对于 L^p[0,2pi] 上的有界序列（之前推导它是一致有界的）{sigma_n} 必定有弱收敛子序列。 也就是说表情包设计，对于 forall f in L^p[0,2pi]有界线性泛函是什么，其傅立叶级数具有切萨罗意义上的弱收敛子序列。

首先我们证明：当f in L^2[0,2 pi] 时，它的傅立叶级数是收敛的。 （这主要是由于L^p[0,2pi]空间中希尔伯特空间的特殊性~）

那么，我们来讨论： 对于 forall f in L^p[0,2pi]，其傅里叶级数的 cesaro 的 L^p 模是一致有界的，可以得出其傅里叶级数在 cesaro 中在某种意义上是弱收敛子序列。

（有问题请指正qaq）